« 12 »  02  20 15 г.




Метод гаусса таблица узлов

Задача численного интегрирования состоит в том, чтобы найти численное значение определенного интеграла. Формулы для решения этой задачи называются квадратурными. Квадратурная формула позволяет вместо точного значения интеграла 1 найти некоторое его приближенное значение.

Разность точного и приближенного значений интеграла называется абсолютной погрешностью квадратурной формулы или численного метода ,. Квадратурные формулы используют для вычисления интеграла 1 значения , , …, функции в точках отрезка. Квадратурная формула имеет вид. Напомним геометрический смысл определенного интеграла: Разобьем отрезок интегрирования на частичных отрезков, вычислим интегралы на частичных отрезках. Интеграл на всем отрезке интегрирования равен сумме интегралов на частичных отрезках свойство аддитивности определенного интеграла.

Вычислим , заменяя подынтегральную функцию на всем отрезке интегрирования интерполяционным полиномом Лагранжа , построенным на узлах. Обозначим через максимальное по модулю значение производной - го порядка функции на отрезке:. Для простоты разобьем отрезок интегрирования на частей точками, равноудаленными друг от друга: Аппроксимируем площадь под графиком функции суммой площадей прямоугольников с основанием и высотой , где.

Причем, если взять левую крайнюю точку частичного отрезка , то получим формулу левых прямоугольников:. Мы видим, что весовые коэффициенты формулы левых прямоугольников в случае равностоящих узлов равны , кроме коэффициента при , который равен 0. Мы видим, что погрешность метода левых прямоугольников имеет тот же порядок, что шаг интегрирования первый порядок по. Поскольку для функций вида , то для таких функций формула левых прямоугольников является точной.

А если взять правую крайнюю точку частичного отрезка , то получим формулу правых прямоугольников:.

/ Численное интегрирование

Погрешность метода правых прямоугольников имеет тот же порядок, что и шаг интегрирования. В случае, когда мы берем среднюю точку , получаем формулу средних прямоугольников:. Погрешность формулы средних прямоугольников имеет второй порядок по. Заменим площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямолинейных трапеций, построенных на частичных отрезках ,.

Площадь элементарной прямолинейной трапеции равна:. Оценка абсолютной погрешности на всем отрезке интегрирования определяется выражением:. Погрешность метода трапеций имеет тот же порядок, что и. Для функций вида полиномов первой степени формула трапеций является точной. Теперь аппроксимируем функцию на элементарном отрезке параболой.

По сравнению с предыдущими способами вдвое уменьшим расстояние между узлами. Таким образом, получаем частичных отрезков и узлов интегрирования. Значения функции в узлах: Квадратурная формула Симпсона имеет вид:. Абсолютная погрешность формулы Симпсона имеет тот же порядок, что и четвертый порядок точности. Формула Симпсона точна для полиномов степени.

При приближенном вычислении определенного интеграла на компьютере оценка точности вычислений по приведенным выше формулам для погрешностей, как правило, не применяется ввиду трудности нахождения. В таких случаях используют правило Рунге. При каждом последующем приближении число отрезков разбиения удваивается. Если условие выполнено, за приближенное значение интеграла принимается значение , то есть. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной.

Напомним порядки методов по:. Где , заданная интегрируемая функция, так называемая весовая функция и - некоторая достаточно гладкая функция, которую назовем подынтегральной. Этот интеграл является более общим по сравнению с рассматриваемым ранее интегралом 1. Интеграл вида 1 получается из 4 при весовой функции. Для вычисления интеграла 3 применим следующий подход: В отличии от предыдущих методов не будем вычислять интегралы на частичных отрезках, а заменим подынтегральную функцию на всем отрезке интерполяционным полиномом Лагранжа , построенным на узлах.

В результате получим следующую квадратурную формулу:. Формула 5 , в которой коэффициенты определяются выражением 6 называется интерполяционной квадратурной формулой.

Из выражения 6 видно, что полученная интерполяционная квадратурная формула точна для полиномов - ой степени, поскольку в этом случае. Таким образом, квадратурная формула интерполяционного типа 5 , построенная на узлах является точной для полиномов степени. Рассмотренные нами ранее формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона являются частным случаем квадратурных формул интерполяционного типа при 1, 2 и 3 узла соответственно.

Для некоторых квадратурных формул оценка погрешности 7 является неточной, так как она не учитывает симметрии формул. Например, формула средних прямоугольников точна для полиномов 1- ой степени, а формула Симпсона точна для полиномов третьей степени. Квадратурная формула 2 называется симметричной, если:.

Свойство 3 коэффициентов квадратурной формулы определяется не только симметричным расположением узлов, но и симметрией весовой функции. Говорят, что - четная функция относительно середины отрезка , если. Пусть - четная функция относительно точки и пусть выполнены условия 2 , где - четное число. Тогда, если квадратурная формула интерполяционного типа 5 точна для любого многочлена степени , то она точна и для любого многочлена степени.

Заметим, что зависит только от самих узлов, на которые разбит промежуток, но не зависит от функции. Следовательно, коэффициенты не зависят от вида функции также и, используя эти коэффициенты, можно считать интегралы от различных функций при условии одинакового разбиения на узлы.

Построим интерполяционную квадратурную формулу для вычисления интеграла ,. Выберем на стандартном отрезке три равностоящих узла: На самом деле формула является симметрической смотри условия симметрии и верна для полиномов степени , но так как у нас три неизвестных коэффициента три узла , то нам достаточно трех уравнений. Для перехода к отрезку надо провести линейную замену переменных:.

Численное интегрирование функции методом Гаусса

Например, интерполяционная квадратурная формула, построенная на трех равностоящих узлах на отрезке , имеет вид:. Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля.

Метод Гаусса (численное интегрирование)

Точность интерполяционной квадратурной формулы можно существенно повысить путем рационального выбора узлов. Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом:. Обратите внимание, что в формуле 8 для удобства изложения нумерация узлов начинается с. Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентов и узлов.

Они называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или квадратурными формулами Гаусса — Кристоффеля или квадратурными формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени.

Таким образом, для любых существует, причем единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности вида 8. Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весом полинома степени , а коэффициенты определяются формулой:. Узлы и соответствующие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функций и сводятся в таблицу.

Приведем пример квадратурной формулы Гаусса. Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лежандра. В таблице в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании двух, трех и четырех узлов. Этот интеграл сводится к табличному и он равен , его значение:. Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 5 равных частей 5 частичных отрезков.

Количество узлов — 6. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?




Мария Чабашвили

Формула прямоугольников и формула трапеций. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.